极复杂问题背后的简洁数学

想象一下，如果有一个微微弯曲的软质曲面，类似一片隐形眼镜，而我们想把它压平，它的表面就会出现一些“多出来”的材料，进而产生褶皱。但是，这些褶皱会在什么地方出现？它们又会以怎样的方式排列？这些我们都不清楚。

褶皱背后的科学原理通常被认为非常复杂，同时，当物体出现褶皱后，它的一些性质往往也会改变，如果想用模型模拟它们，情况也在不断变化。

但近期，一项新研究利用实验、模拟外加数学证明发现，通过一些简单的几何学，就有机会预测这些褶皱的模式，包括它们将在哪里形成，以及在某些情况下它们的方向。论文已于近期发表在《自然·物理学》上。

探索几何原理

对一个曲面来说，曲率可以简单理解成衡量它“有多弯”的标准。曲率可以是正的，比如圆球形状的棒球或地球仪，它也可以是负的，比如马鞍的形状。还有一些是平面材料，就像我们熟悉的一张纸。

在这项研究中，团队把重点放在具有正曲率和负曲率的弯曲外壳，重点分析材料的物理形状和曲率对褶皱的模式可能产生多大的影响。

他们在一个像球体或马鞍形状的弧形玻璃表面上放置一块平坦的塑料片，然后旋转它，使塑料片变薄并塑形。然后，他们把塑料片放在水面上，水的张力可以提供一种稳定的压扁的力，使表面形成褶皱。

对于每种形状，研究人员会根据研究出的基本原理来解决理论问题，然后得出预测结果。基于这些发现，他们随后又进行了模拟，将各个形状和相关参数输入一个计算机程序。

通过大量模拟和实验，以及不断完善过程并扩展原始理论，团队逐步发现，通过应用一些直接的几何原理，他们就可以提前预测出褶皱的模式，以及一个被称为“有序”褶皱的子集的皱纹走向。

青色实线表示预测的褶皱模式。没有这些线的区域是无序的。对于马鞍形（曲率κ<0）的情况，褶皱向白色轴线方向衰减。对于球形（κ>0）的情况，褶皱向边界衰减。青色虚线代表预测中使用的理想形状。（图／Tobasco, I. et al., 2022）

比如，对于像上图这样相对简单的形状，当曲率为正的时，形状外部部分将包含有序褶皱，这些褶皱有组织、有秩序地发展。同时，在新划分出的内部多边形里（白色实线范围内），褶皱仍旧会形成，但它们是无序且不可预测的。

简洁而美丽的规则

研究人员认为，这项成果的最大魅力之一在于，它非常简洁。褶皱背后的理论相当复杂，在实验和模拟中观察到的许多模式都不简单。但事实证明，在一定的条件下，仍可以用一套相对简洁的规则来预测褶皱的布局。

这很有启发性。它也意味着，现在科学家有了一种快速、有效的方法来设计这类褶皱的模式。特别是对于那些具有允许粘附或流体流动等功能的褶皱表面。比方说，空气中存在水分。水在山谷和山丘不平的表面上会产生不同行为。通过控制褶皱模式，也许就可以影响水的凝结方式。

研究人员希望继续深入了解这些复杂的纹理表面，比如，如何从那些无序的褶皱中提取模式，为什么有序和无序的域可以共存，等等。

但无论如何，发现一个复杂问题的简洁且优美的解决方案，这本身就非常令人兴奋。

参考来源：

https://penntoday.upenn.edu/news/when-curved-materials-flatten-simple-geometry-can-predict-wrinkle-patterns-will-emerge

https://www.newscientist.com/article/2335299-researchers-have-worked-out-the-rules-for-how-some-things-wrinkle/

https://www.nature.com/articles/s41567-022-01672-2

封面图/首图：Monica Ripp, Paulsen Lab, Syracuse University

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