2 .1 八卦、太极、道与数形、数模

现代的杨辉三角和宋代时的杨辉三角。这两幅图究竟提供了什么供人类研究的内涵？这在关于杨辉三角的研究中已经有过无数的结果，仅仅是数学方面就不下十个：自然数集、素数、二项式、11的N阶幂、2的到N阶幂、斐波拉契数列、黄金比例……。而在中国古人那里，杨辉三角还有更加有意义的内容。杨辉三角与太极、八卦有彼此对应的关系。一个是数，一个是图示。

这二者究竟是怎样的关系呢？

在杨辉三角中，第二斜列是自然数集1、2、3、4、5……，左侧是如此、右侧也是如此。通过分析，还得出，第三斜列1、3、6、10集合分别对应杨辉三角的0层、1层、2层、3层的所在层数量的集合。0层的数量是1,1层的数量是3，2层的数量是6,3层的数量是10，以此类推。同时，第4层底层数量10的中心出现了数1，随着层数的增加，中心分别会出现第三斜列的三角形数列。即是说，从第四层起，中心又复现了从0层开始的迭代。另外，第四斜列的四边形数列的1、4、10这些数，对应了自然数整数列所在层之上所有的数的和。如，自然数整数列的1对应四边形数列的1，2对应的是四边形数列的4，以此类推。其表示的是第1层之上的所有层的总数是1，第2层之上的数量是4，等等。

杨辉三角只是棱形锥体的一个面，只是投影了内部数据信息。就相当于是对一个锥体做了一个侧面的透视。

这之中，太极对应0层的1，是为世界具有一个有形的起点，这个点发展出阴阳两仪（1,1），然后再累积发展到四象（1,2,1），进一步到了八卦（1,3,3,1）。这个过程通过两仪、四象、八卦的命名，把杨辉三角中的数作出更完全地发展，更加细化，更容易应用，这是一个数的应用化过程。这也很明显地把数自身的变化，数与数之间的变化充分地联系起来了。也把每一层数的概率体现出来了。如此就更加容易理解、阐释每一层中相关观察对象的特性，知晓其来龙去脉，更易于为人所运用。

对人趋利避害取得利益具有更加具体的实际意义。比如，第2层的2,用少阴少阳表述了其来源与阴阳仪具有各自一半的几率，比单纯用数2的意义更加浅显易懂。再往后，第3层的（3,3）两数也是如此，很明显就把3种组合态按次序表现出来了。在左侧3的地方，显然阳仪到达的几率远比阴仪抵达的几率高，所以，兑、离、震的组成结构都是阳仪为主，阴仪为辅；反之，在右侧的3，巽、坎、艮则以阴仪的组成为主，阳仪为辅。

从第3层的1、3、3、1继续发展第4层到1、4、6、4、1，可以形成多少组合结构呢？乾分别与兑、离、震构成上下结构和下上结构，共8组；同样兑也和乾、离、震形成8组，离、震、巽、坎、艮、坤类推下去，共出现64组。在数方面，这只是纯数，一旦把特性代入之后，每一组排列组合就会现出一定的特性。这就像做数学应用题时套公式一样。

由于代入了阴阳仪以及乾、兑、离、震、巽、坎、艮、坤，每产生一组排列组合就会把特性显现出来，就像把纯自然数表述的内涵挂在眼前，基本上是一目了然。以此，中国古人取名为“挂”，因为可以揭示意义，提供后续发展的概率性，作出一定的预估，用“卦”字特指。这就是八卦、六十四卦。

杨辉三角，以自然数的形式把万事万物的产生、发展、兴旺、彼此间的关系都用数学的方式包含了。以数来表述万事万物，乃至自然宇宙的演化是最简化有效的。中国古人，又把数按照自然属性赋予了一定的意义，用“象”这种取类比象的手段实用化。

当观察锥体多面，会如何呢？就如人在把玩一个物品时，必然上看下看、左看右看，内看外看的。顶部、底部、内部也是要去研究的。

当锥体的每一层都开始运转时，必然会产生相应的螺旋形轨迹。这个轨迹展现了锥体各层之间的紧密关系。

自然数从1到十，之后的11开始，都可以看作是对1到十的重复迭代。可以理解为从1到10完成一次从开始到终结的过程，11是下一次的始终的起点。

这就像一个圆运动一圈一样，这个圆一圈是360度，是2π。如果用极坐标来表述自然数，自然数间的等差值1就可用弧度表示。以1为半径作圆，让圆弧的长度也等于1，则两条半径间夹角就是弧度。按照弧度的计算，从零到1的弧度是57.3度，从1到2的弧度也是57.3度，以此类推下去。

把圆放入坐标中，如果一个自然数以坐标的同心圆表示，则自然数在坐标中就是从坐标中心0到无穷的同心圆集合。再以每57.3度弧度来定位下一个自然数的位置，随着自然数的增多，在100以内的同心圆上出现了新特性，形成很多数字序列的形状，螺旋，直线等。以6为例，六支数列螺旋。从0考察，0、6、12、18……，1、7、13、19……，2、8、14、20……，3、9、15、21……，4、10、16、22……，5、11、17、23……。这些螺旋最终还形成了三组两两对称的螺旋，（0、6……）与（3、 9……），（1、7……）与(4、10……），（2、8……）与（5、11……）。单独考察一组对称螺旋时，会发现这是一组互相“缠绕式”的数字图形。

如果把自然数按顺序连线，自然数就会围绕圆心呈螺旋状，形成一个螺旋（阿基米德螺旋）。《中华文明的数、数形、数模》中提及一个杨辉三角只是实物四面体的一个面，如果采用Ah (l k)的方式，就会发现实物在坐标中实际是有四个面的。所以，阿基米德螺旋线在立体极坐标中对称的。如此每一圈螺旋都是h层面的一次上升。阿基米德螺旋就是顶视图上的平面的体现，同时它还会呈现立体性。

在顶视图上，以原点为中心，以等差1的同心圆方式向x，y轴外扩展。意味着 Ah(l k)）中的h，也从坐标原点处实现扩展, 其层次也同步提升，实现等差为1的增长。

这种方式，把自然数和图形结合起来了，进一步完善了杨辉三角主要用数来表述的方式，实现了应用性的开拓。

现在，把杨辉三角放入阿基米德螺旋中，三角中两侧第二斜列的自然数列对应各层，从第10层之后的位置来观察，会看到第10层底部的三角形。这些每层都有的三角形全是锥体内切而成的。当取两条对称的阿基米德螺旋线时，发现二者相互“缠绕”，并且都会套在每一对应的圆形层面内。根据前面所述的八卦内生的特性，分别取第3、6、9层的圆面，对比简洁度，还是在第3层的图形最简洁明了。

在这一层顶视图上，可见从0开始而来的阿基米德螺旋，就像从平面中心开始的螺旋运动，由此立体的阿基米德螺旋就投影转换为了平面上的螺旋运动，结果就是构成了阴阳合体的太极。

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