如何理解绳的张力

第二个角度，物体由于受到拉力，为了恢复弹性形变，物体内部的每个地方都会产生一种往内收缩的力，这种抵抗拉力的收缩力就是张力。这种理解下，张力是从外指向内的。

显然，这两种理解下的张力互为作用力与反作用力，根据牛顿第三定律，它们的大小是相等的。

可见，张力并不是反抗压缩而导致的，恰恰相反，张力是反抗拉伸而导致的。

因此可以说，张力的“张”，不是扩张的“张”，而是紧张的“张”。

你可能会好奇，物体由于反抗压缩而导致的力是什么力呢？

没错，是压力！例如物体两端受到往中间的推力，这时候物体内部就产生了压力了。与张力类似，压力也可从两个角度来看，因此也有两种不同的方向，读者可自行理解。

我们继续聊张力。

在上面对张力的解释中，提到了物体“内部的每个地方”，这个“地方”是物体内垂直于拉力的任意一个截面，这个截面不是物质的面，而是数学上的面，它的质量为零，实际上并不存在！

因此，物体内任意截面两侧的物质在此产生相互的拉力，根据牛顿第三定律，这两个拉力必然相等，其中任意一个拉力都可代表该截面处的张力。

所以，张力就是物体在截面处相互的拉力，这是张力的最直观理解。

这个直观的理解告诉我们，张力与截面是一一对应的。

而截面可用空间坐标来标识，例如一拉直的细绳，以左端为原点，任何截面就可以用一个正实数表示。

这样一来，张力就与坐标对应起来了！

用数学的语言说就是：张力是坐标的函数！

细绳的情形最简单，坐标只有一个，写出来就是 考察绳中处在 和 的两个截面，其张力分别为 和 。

把这两个截面间的一段绳 当作受力对象来看，它受到点 左边的绳和点 右边的绳的拉力分别就是张力 和 。

这两个拉力相反，故合力为 ，设这段绳质量为 ，根据牛顿第二定律可知 对轻绳来说，由于 ，故 ，所以张力不随位置改变，张力是一个常数，所以轻绳的张力大小处处都相等。

据此可知，为什么一根轻绳或轻弹簧各处的拉力都是一样的？因为它们内部任意截面处的张力都是一样的嘛！

而加速度 也导致 。

所以，一根即使有质量的水平杆或绳子，若受拉力而处于平衡状态，它一端受的拉力一定会不变的传到另一端，因为各处的张力也是相等的。

无论一根轻绳绕过多少个轻滑轮，只要不分叉，绳子处处的拉力必然一样。即使将轻绳和轻弹簧连起来，他们的拉力也处处相等。

如上图，若滑轮质量不计，则与弹簧相连的绳子上各点的弹力都与该弹簧的弹力大小相等。

不过，像下面这种情况，由于弹簧和绳子并不是直接连在一起的，所以它俩的拉力当然就不同了。

可别小看这个问题。没有理解这一点，有时会很迷惑。

例如，两个倔强系数分别为 和 的轻弹簧串联在一起，如下图所示

系统总的倔强系数是 但如何得到这个结果呢？你可能有不同的方法，但若根据上述轻绳内张力处处相等的规律，很容易得到结果。

把这两个轻弹簧看作一根轻弹簧时，张力，也就是拉力，处处相等，故

故总的倔强系数为 由于 ，代入上式即可得结果。

很多人觉得，弹簧的弹力是弹簧作为整体形变而产生的，所以弹簧的弹力是每一段弹簧的弹力累加，因此他们认为弹簧中的一部分受到的弹力肯定比总的弹力小。

显然，这种理解是错误的。

弹簧张力各处都是一样的，所以，弹簧任一段都受到与整个弹簧一样大的弹力作用。

什么时候，绳子的张力各处不一样？当然就是在绳子有质量且加速运动的时候。

例如下面这道题。

一个长为 ，质量为 的绳子放在光滑水平面上（图中绳子腾空了，你就脑补一下放在水平面上的样子吧），左端连接一个质量为 的物体，当在绳子右端施加一个水平向右的拉力 时，绳子内部任意点的张力是多少？

说到张力(tension force)，不少人有点迷迷糊糊的，还有人自以为理解了，但其实理解错误。从字面理解，“张”不就是“往外扩张”嘛？所以“张力”不就是一种从中间往外扩张的力吗？基于这种理解，有人认为张力是物质主动膨胀而产生的力，也有人认为张力是物质为了反抗压缩形变而产生的力。但这样的理解显然是错误的！例如，我们经常说“绳子的张力”，但绳子显然不会主动膨胀，也无法产生反抗压缩的力。

其实，可从两个不同的角度看张力。

第一个角度，物体由于受到拉力，它内部的每个地方都被往外拉，这种被拉的力就是张力。

这种理解下，张力是从内指向外的。

第二个角度，物体由于受到拉力，为了恢复弹性形变，物体内部的每个地方都会产生一种往内收缩的力，这种抵抗拉力的收缩力就是张力。

这种理解下，张力是从外指向内的。

显然，这两种理解下的张力互为作用力与反作用力，根据牛顿第三定律，它们的大小是相等的。

可见，张力并不是反抗压缩而导致的，恰恰相反，张力是反抗拉伸而导致的。

因此可以说，张力的“张”，不是扩张的“张”，而是紧张的“张”。

你可能会好奇，物体由于反抗压缩而导致的力是什么力呢？没错，是压力！例如物体两端受到往中间的推力，这时候物体内部就产生了压力了。

与张力类似，压力也可从两个角度来看，因此也有两种不同的方向，读者可自行理解。

在上面对张力的解释中，提到了物体“内部的每个地方”，这个“地方”是物体内垂直于拉力的任意一个截面，这个截面不是物质的面，而是数学上的面，它的质量为零，实际上并不存在！因此，物体内任意截面两侧的物质在此产生相互的拉力，根据牛顿第三定律，这两个拉力必然相等，其中任意一个拉力都可代表该截面处的张力。

所以，张力就是物体在截面处相互的拉力，这是张力的最直观理解。

这个直观的理解告诉我们，张力与截面是一一对应的。

而截面可用空间坐标来标识，例如一拉直的细绳，以左端为原点，任何截面就可以用一个正实数表示。

这样一来，张力就与坐标对应起来了！用数学的语言说就是：张力是坐标的函数！细绳的情形最简单，坐标只有一个，写出来就是 考察绳中处在 和 的两个截面，其张力分别为 和 。

把这两个截面间的一段绳 当作受力对象来看，它受到点 左边的绳和点 右边的绳的拉力分别就是张力 和 。

这两个拉力相反，故合力为 ，设这段绳质量为 ，根据牛顿第二定律可知 对轻绳来说，由于 ，故 ，所以张力不随位置改变，张力是一个常数，所以轻绳的张力大小处处都相等。

据此可知，为什么一根轻绳或轻弹簧各处的拉力都是一样的？因为它们内部任意截面处的张力都是一样的嘛！ 而加速度 也导致 。

所以，一根即使有质量的水平杆或绳子，若受拉力而处于平衡状态，它一端受的拉力一定会不变的传到另一端，因为各处的张力也是相等的。

无论一根轻绳绕过多少个轻滑轮，只要不分叉，绳子处处的拉力必然一样。

即使将轻绳和轻弹簧连起来，他们的拉力也处处相等。

如上图，若滑轮质量不计，则与弹簧相连的绳子上各点的弹力都与该弹簧的弹力大小相等。

不过，像下面这种情况，由于弹簧和绳子并不是直接连在一起的，所以它俩的拉力当然就不同了。

可别小看这个问题。

没有理解这一点，有时会很迷惑。

例如，两个倔强系数分别为 和 的轻弹簧串联在一起，如下图所示系统总的倔强系数是 但如何得到这个结果呢？你可能有不同的方法，但若根据上述轻绳内张力处处相等的规律，很容易得到结果。

把这两个轻弹簧看作一根轻弹簧时，张力，也就是拉力，处处相等，故 故总的倔强系数为 由于 ，代入上式即可得结果。

很多人觉得，弹簧的弹力是弹簧作为整体形变而产生的，所以弹簧的弹力是每一段弹簧的弹力累加，因此他们认为弹簧中的一部分受到的弹力肯定比总的弹力小。

显然，这种理解是错误的。

弹簧张力各处都是一样的，所以，弹簧任一段都受到与整个弹簧一样大的弹力作用。

什么时候，绳子的张力各处不一样？当然就是在绳子有质量且加速运动的时候。

一个长为 ，质量为 的绳子放在光滑水平面上（图中绳子腾空了，你就脑补一下放在水平面上的样子吧），左端连接一个质量为 的物体，当在绳子右端施加一个水平向右的拉力 时，绳子内部任意点的张力是多少？用整体法，系统只受一个外力 ，故整体的加速度为 对绳中的一段 来说，它的加速度也是 ，而它所受合力即为 处的张力 和 处张力 之差，故 也就是 为了简化表述，定义常量 则 。

设坐标 处的张力为 ，则 处的张力为 类似地， 处的张力为 假设把绳子从 到最右端之间分成 段， 则 也就是 由于从点 到最右端的长度为 ，故 而绳子的最右端，作为一个截面，那里的两个相互作用的拉力，其中一个向右的是外力 ，而向左的就是张力 ，根据牛顿第三定律，它们相等，故 从而得到 处的张力为 当 和 时，上式分别为 可见，绳子两端点处的张力总是等于绳子在对应位置所受的外力。

这就是张力的边界条件。

对学过微积分的同学，上面的过程可以非常简单，牛顿方程直接变为 两边同时积分 即可得到结果。

注意，上式左边积分的上限为什么是 ？同样是因为经过分析发现，右端面处的张力等于外力 。

这里还有一个数学问题需要澄清。

有人认为， 对某变量 ，增量 或微分 就是它的一部分，而求和 或积分 应该就是它本身。

这种理解会导致你看不懂上面对张力的积分式。

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