“黑天鹅”：离群值的物理学
导语 说起概率分布，高斯分布和泊松分布似乎是我们知道的一切，然而，列维分布实际上在自然现象中十分常见。一种被称为“列维飞行”（Lévy flight）的随机游走，可以很好地模拟动物觅食、股票价格波动、地震和湍流等现象。
研究领域：黑天鹅事件，概率论，随机游走，列维飞行
黑天鹅是罗马诗人尤韦纳尔（Juvenal）发明的一种神兽，用来比喻稀少到只能想象的事物，他的原文是“土地上的稀有鸟类，非常像黑天鹅”。
可以想象，1697年荷兰探险家威廉·德·弗拉明（Willem de Vlamingh）第一次在澳大利亚看到黑天鹅时的震惊。这个比喻演变成一种新的用法，指当一个广泛持有的信念（黑天鹅的不可能性）被新的观察结果驳倒。
例如，1870年生物学家托马斯·赫胥黎（Thomas Henry Huxley）因热衷于捍卫达尔文的理论而被称为“达尔文的斗牛犬”，他在英国利物浦发表了一次演讲，Nature 杂志援引他的话：“……科学的伟大悲剧——一个丑陋的事实扼杀了一个美丽的假说。”
多年来，这句话在许多不同场合被引用和重复。
1973年，费舍尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）提出一个美丽的经济理论，作为在华尔街进行完美套期保值的一种方法，据称该理论没有风险，但却能保证股价大起大落时仍获得正收益。1994年，斯科尔斯和布莱克成立了一家投资公司，将这一美丽的理论变为现实，投资回报率达到令人难以置信的 40%。布莱克于1995年去世，斯科尔斯却在1997年获得诺贝尔经济学奖。第二年，该基金倒闭，令布莱克-斯科尔斯蒙羞的丑陋事实是黑天鹅。
黑天鹅
黑天鹅是指在一系列数据点中出现的异常测量。在黑天鹅事件发生前，数据点表现正常，遵循我们所期望的常规统计，可能是高斯分布，也可能是主导大多数变量现象的其他指数形式。
但黑天鹅出现了，它的数值出乎意料，与其他所有测量结果都不一样，以至于人们常常认为它是错误的，甚至可能将其丢弃，因为它破坏了原本不错的统计数据，这一数据点以不可忽略的方式扭曲了平均值和标准差。对于这种令人心烦的事件，人们的反应是获取更多数据，让平均值再次稳定下来…..直到另一个黑天鹅出现，再次偏离平均值。然而，这种异常值（outlier）往往不是虚假的测量结果，却是测量过程的自然组成部分，在不影响研究统计完整性的情况下，不应该也不可能将其剔除。
2007年，作家塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）在其极具影响力的著作《黑天鹅：极不可能事件的影响》（The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable）中指出，无论是商业、新技术开发、选举还是金融市场行为，离群值现象几乎是现代生活方方面面的核心部分。看似表现良好的事物，一套产品、一个集体社会或一系列政府政策，突然被一项新发明、一项新法律、一项最高法院的错误判决、一场战争或股市崩盘破坏。
举例来说，让我们看看布莱克-斯科尔斯错在哪里。
华尔街的完美对冲
费舍尔·布莱克（1938-1995 年）是博士生导师的噩梦。他1959年本科毕业于哈佛大学物理系，但在研究生阶段转学数学，后来又转学计算机，再后来又转学人工智能，之后他因严重缺乏专注力而被哈佛大学研究生项目开除。于是，他加入兰德公司，在那里他有时间发挥自己的想法，最终找到麻省理工学院的马文·明斯基（Marvin Minsky），在后者的帮助指导下，写出一篇可接受的论文并被允许提交给哈佛大学应用数学博士项目。之后，他进入金融市场工作。
他对金融理论的著名贡献是1973年与拜伦·斯科尔斯合著的论文《期权和公司负债的定价》。套期保值是华尔街的古老传统，指经纪人卖出期权（在以后以给定的价格购买股票），假定股票会贬值（卖空），然后买入一定数量相同资产的股票（买多），作为价格上涨的保险。如果经纪人在足够多的多头股票和足够多的空头期权之间取得平衡，那么投资组合的价值就不会受到标的资产价值每日波动的影响。
这种投资组合就是叫做金融衍生产品（derivative）的一种金融工具。之所以叫衍生产品，是因为投资组合的价值来源于相关资产价值，其面临的挑战，是在到期前随时找到其“真实”价值。如果经纪人知道衍生品的“真实”价值，那么买卖衍生品就不会有风险。
要做到无风险，衍生品的价值就必须不受波动影响。这乍看起来是个难题，因为波动是随机的，无法预测。但实际上，解决方法恰恰依赖于这种随机性条件，如果股票价格的随机波动等同于平均收益率上叠加随机游走，那么就可以肆无忌惮地构建完美对冲。
要对标的资产进行套期保值，可以通过卖出一份看涨期权（卖空）和买入N股该资产（买多）来创建一个投资组合，作为对资产价值上涨可能性的保险。该投资组合的价值为
如果数字N选择正确，那么空头头寸和多头头寸就会平衡，投资组合就不会受到相关资产价格波动的影响。要找到N，请考虑变量波动时投资组合价值的变化
并利用伊藤公式（包含随机变量影响的随机微分方程）得出一个优雅的结果
请注意，最后一项包含波动，用随机项dW（随机游走）表示。可以通过选择
将波动归零，从而得到
对最后一个等式的重要观察是随机函数W已经消失，这是因为N份股票价格的波动平衡了空头期权的波动。
当经纪人买入期权，在期权到期时有一个保证收益率r，这个收益率是由无风险债券的价值决定的。因此，完全套期保值的价格必须随无风险收益率的上升而上升。这就是
导语 说起概率分布，高斯分布和泊松分布似乎是我们知道的一切，然而，列维分布实际上在自然现象中十分常见。一种被称为“列维飞行”（Lévy flight）的随机游走，可以很好地模拟动物觅食、股票价格波动、地震和湍流等现象。研究领域：黑天鹅事件，概率论，随机游走，列维飞行黑天鹅是罗马诗人尤韦纳尔（Juvenal）发明的一种神兽，用来比喻稀少到只能想象的事物，他的原文是“土地上的稀有鸟类，非常像黑天鹅”。
可以想象，1697年荷兰探险家威廉·德·弗拉明（Willem de Vlamingh）第一次在澳大利亚看到黑天鹅时的震惊。
这个比喻演变成一种新的用法，指当一个广泛持有的信念（黑天鹅的不可能性）被新的观察结果驳倒。
例如，1870年生物学家托马斯·赫胥黎（Thomas Henry Huxley）因热衷于捍卫达尔文的理论而被称为“达尔文的斗牛犬”，他在英国利物浦发表了一次演讲， 杂志援引他的话：“……科学的伟大悲剧——一个丑陋的事实扼杀了一个美丽的假说。
”多年来，这句话在许多不同场合被引用和重复。
1973年，费舍尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）提出一个美丽的经济理论，作为在华尔街进行完美套期保值的一种方法，据称该理论没有风险，但却能保证股价大起大落时仍获得正收益。
1994年，斯科尔斯和布莱克成立了一家投资公司，将这一美丽的理论变为现实，投资回报率达到令人难以置信的 40%。
布莱克于1995年去世，斯科尔斯却在1997年获得诺贝尔经济学奖。
第二年，该基金倒闭，令布莱克-斯科尔斯蒙羞的丑陋事实是黑天鹅。
黑天鹅黑天鹅是指在一系列数据点中出现的异常测量。
在黑天鹅事件发生前，数据点表现正常，遵循我们所期望的常规统计，可能是高斯分布，也可能是主导大多数变量现象的其他指数形式。
但黑天鹅出现了，它的数值出乎意料，与其他所有测量结果都不一样，以至于人们常常认为它是错误的，甚至可能将其丢弃，因为它破坏了原本不错的统计数据，这一数据点以不可忽略的方式扭曲了平均值和标准差。
对于这种令人心烦的事件，人们的反应是获取更多数据，让平均值再次稳定下来…..直到另一个黑天鹅出现，再次偏离平均值。
然而，这种异常值（outlier）往往不是虚假的测量结果，却是测量过程的自然组成部分，在不影响研究统计完整性的情况下，不应该也不可能将其剔除。
2007年，作家塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）在其极具影响力的著作《黑天鹅：极不可能事件的影响》（）中指出，无论是商业、新技术开发、选举还是金融市场行为，离群值现象几乎是现代生活方方面面的核心部分。
看似表现良好的事物，一套产品、一个集体社会或一系列政府政策，突然被一项新发明、一项新法律、一项最高法院的错误判决、一场战争或股市崩盘破坏。
举例来说，让我们看看布莱克-斯科尔斯错在哪里。
华尔街的完美对冲费舍尔·布莱克（1938-1995 年）是博士生导师的噩梦。
他1959年本科毕业于哈佛大学物理系，但在研究生阶段转学数学，后来又转学计算机，再后来又转学人工智能，之后他因严重缺乏专注力而被哈佛大学研究生项目开除。
于是，他加入兰德公司，在那里他有时间发挥自己的想法，最终找到麻省理工学院的马文·明斯基（Marvin Minsky），在后者的帮助指导下，写出一篇可接受的论文并被允许提交给哈佛大学应用数学博士项目。
之后，他进入金融市场工作。
他对金融理论的著名贡献是1973年与拜伦·斯科尔斯合著的论文《期权和公司负债的定价》。
套期保值是华尔街的古老传统，指经纪人卖出期权（在以后以给定的价格购买股票），假定股票会贬值（卖空），然后买入一定数量相同资产的股票（买多），作为价格上涨的保险。
如果经纪人在足够多的多头股票和足够多的空头期权之间取得平衡，那么投资组合的价值就不会受到标的资产价值每日波动的影响。
这种投资组合就是叫做金融衍生产品（derivative）的一种金融工具。
之所以叫衍生产品，是因为投资组合的价值来源于相关资产价值，其面临的挑战，是在到期前随时找到其“真实”价值。
如果经纪人知道衍生品的“真实”价值，那么买卖衍生品就不会有风险。
要做到无风险，衍生品的价值就必须不受波动影响。
这乍看起来是个难题，因为波动是随机的，无法预测。
但实际上，解决方法恰恰依赖于这种随机性条件，如果股票价格的随机波动等同于平均收益率上叠加随机游走，那么就可以肆无忌惮地构建完美对冲。
要对标的资产进行套期保值，可以通过卖出一份看涨期权（卖空）和买入N股该资产（买多）来创建一个投资组合，作为对资产价值上涨可能性的保险。
该投资组合的价值为如果数字N选择正确，那么空头头寸和多头头寸就会平衡，投资组合就不会受到相关资产价格波动的影响。
要找到N，请考虑变量波动时投资组合价值的变化并利用伊藤公式（包含随机变量影响的随机微分方程）得出一个优雅的结果
请注意，最后一项包含波动，用随机项（随机游走）表示。
可以通过选择将波动归零，从而得到
对最后一个等式的重要观察是随机函数W已经消失，这是因为N份股票价格的波动平衡了空头期权的波动。
当经纪人买入期权，在期权到期时有一个保证收益率r，这个收益率是由无风险债券的价值决定的。
因此，完全套期保值的价格必须随无风险收益率的上升而上升。
这就是或
联立两式可得
简化后，可得出V(S, t)的偏微分方程
| 布莱克-斯科尔斯方程 |
这是一个扩散方程，包含股票价格随时间的扩散。
如果在到期日前的任何时间t出售衍生品，此时股票的价值为S，那么衍生品的价值由布莱克-斯科尔斯方程[1]的解V(S,t)给出。
该方程一个有趣的特点是没有标的资产的平均收益率μ。
这意味着可以考虑任何价值的任何股票，即使该股票的收益率为负值！这种衍生品看起来就像是真正的无风险投资，即使股票价值下跌也能保证赚钱，这听起来似乎好得不像真的，当然，这确实是真的。
布莱克、肖尔斯和默顿。
★《布宫号》提醒您：民俗信仰仅供参考，请勿过度迷信！